14. На сторонах квадрата взяты точки так, что отмеченные на рисунке четыре отрезка равны. Докажите, что эти точки образуют квадрат.

Обозначим сторону исходного квадрата через a, а общую длину отмеченных отрезков — через t. По рисунку каждая точка отстоит на t от следующей вершины квадрата по своей стороне. Зададим квадрат координатами (0, 0), (a, 0), (a, a), (0, a). Тогда точки можно записать как P(a − t, a), Q(a, t), R(t, 0), S(0, a − t).

1. Векторы соседних сторон полученного четырёхугольника равны по длине: например, PQ = (t, t − a), а QR = (t − a, −t). Их длины одинаковы: обе равны √(t² + (a − t)²). По той же причине равны и две остальные стороны.
2. Соседние стороны перпендикулярны: PQ · QR = t(t − a) + (t − a)(−t) = 0.
3. Следовательно, полученный четырёхугольник — ромб с прямым углом, то есть квадрат.

Ответ: отмеченные точки являются вершинами квадрата.