15. На продолжениях сторон квадрата взяты точки так, что отмеченные на рисунке четыре отрезка равны. Докажите, что эти точки образуют вершины квадрата.

Пусть сторона исходного квадрата равна a, а каждый из четырёх равных отрезков на продолжениях сторон — t. Расположим квадрат с вершинами (0, 0), (a, 0), (a, a), (0, a). С учётом расположения точек на рисунке вершины внешнего четырёхугольника можно задать координатами P(−t, a), Q(a, a + t), R(a + t, 0), S(0, −t).

1. Вектор PQ = (a + t, t), а QR = (t, −a − t). Их длины равны и составляют √((a + t)² + t²).
2. Скалярное произведение PQ · QR = t(a + t) − t(a + t) = 0, поэтому соседние стороны перпендикулярны.
3. Аналогично равны следующие стороны и перпендикулярны следующие пары соседних сторон. Полученный четырёхугольник — квадрат.

Ответ: четыре точки являются вершинами квадрата.