18. Вершины M и K равновеликих прямоугольных треугольников ABM и ADK лежат соответственно на сторонах BC и CD квадрата ABCD. Докажите, что MK параллельна BD.

Поскольку ABM и ADK — равновеликие прямоугольные треугольники, их площади равны: AB · BM / 2 = AD · DK / 2. В квадрате AB = AD, следовательно, BM = DK.

Обозначим сторону квадрата через a и положим BM = DK = x. Введём координаты: A(0, a), B(a, a), C(a, 0), D(0, 0). Тогда M(a, a − x), а K(x, 0).

Вектор MK = (x − a, x − a), а вектор BD = (−a, −a). Эти векторы пропорциональны, значит, MK ∥ BD.

Что и требовалось доказать.