9. Середины сторон параллелограмма образуют ромб. Докажите, что этот параллелограмм — прямоугольник.

Пусть M, N, P, Q — середины последовательных сторон параллелограмма ABCD.

1. По теореме о средней линии треугольника MN ∥ AC и MN = AC/2; аналогично NP ∥ BD и NP = BD/2.
2. Так как MNPQ — ромб, его соседние стороны равны: MN = NP. Значит, AC/2 = BD/2, то есть диагонали исходного параллелограмма равны.
3. Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

Ответ: исходный параллелограмм — прямоугольник.