№10. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Решение:

Каждый шахматист сыграл с каждым другим шахматистом по одной партии. Порядок шахматистов в паре не имеет значения (партия между А и Б — это та же партия, что и между Б и А).

Это задача на сочетания. Нужно выбрать \( k=2 \) шахматиста из \( n=15 \) для каждой партии.

Количество сочетаний из \( n \) по \( k \) вычисляется по формуле: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

\( C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2!13!} \)

\( C_{15}^2 = \frac{15 \times 14 \times 13!}{2 \times 1 \times 13!} = \frac{15 \times 14}{2} \)

\( C_{15}^2 = \frac{210}{2} = 105 \)

Ответ: 105 партий.