№11. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

Решение:

Часть 1: Сколько всего различных дробей?

Чтобы составить дробь, нам нужно выбрать 2 различных числа из 6 и расположить их в определенном порядке (числитель и знаменатель).

Это задача на размещения, так как порядок чисел важен (например, \( \frac{3}{5} \) и \( \frac{5}{3} \) — это разные дроби).

У нас есть \( n=6 \) чисел, и нам нужно выбрать \( k=2 \) числа и расставить их по порядку.

Количество размещений из \( n \) по \( k \) вычисляется по формуле: \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \).

\( A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = 6 \times 5 = 30 \)

Часть 2: Сколько среди них будет правильных дробей?

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Из 6 чисел нам нужно выбрать 2 числа так, чтобы одно стало числителем, а другое — знаменателем, причем числитель должен быть меньше знаменателя. Порядок выбора уже не имеет значения, так как условие \( \text{числитель} < \text{знаменатель} \) однозначно определяет, какое число будет вверху, а какое внизу.

Это задача на сочетания. Нужно выбрать \( k=2 \) числа из \( n=6 \).

Количество сочетаний из \( n \) по \( k \) вычисляется по формуле: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

\( C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15 \)

Ответ: Всего можно составить 30 различных дробей. Из них 15 дробей будут правильными.