№9. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

Решение:

Тренер должен отобрать 5 мальчиков. Уже известно, что 2 определенных мальчика должны быть в команде. Значит, остается отобрать \( 5 - 2 = 3 \) мальчика.

Из общего числа \( 10 \) мальчиков, 2 уже выбраны. Осталось выбрать из \( 10 - 2 = 8 \) мальчиков.

Нам нужно выбрать 3 мальчика из оставшихся 8. Порядок выбора не имеет значения, значит, это задача на сочетания.

Количество сочетаний из \( n \) по \( k \) вычисляется по формуле: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

\( C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} \)

\( C_8^3 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3 \times 2 \times 1 \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} \)

\( C_8^3 = 8 \times 7 = 56 \)

Ответ: 56 способов.