№ 11. ABCD — равнобокая трапеция, AB = CD = 5, AD = 10. Диагональ BD перпендикулярна AB. Найдите ∠A, угол между BC и BD, а также угол между BD и CD.

Обозначим проекцию каждой боковой стороны на основание через x. Из равнобокости проекции равны, поэтому BC = 10 − 2x. Условие AB ⟂ BD означает, что треугольник ABD прямоугольный при B. Так как AB = 5 и AD = 10, AD — гипотенуза.

По теореме Пифагора: BD² = AD² − AB² = 100 − 25 = 75, поэтому BD = 5√3. Угол A в прямоугольном треугольнике ABD удовлетворяет sin ∠A = BD/AD = √3/2, следовательно, ∠A = 60°.

В равнобокой трапеции горизонтальная проекция стороны AB равна 5 cos 60° = 2.5, поэтому у треугольника ABD угол между AD и BD равен 30°. Поскольку BC ∥ AD, угол между BC и BD равен 30°.

Угол при D трапеции равен 60°. Его часть между DA и DB равна 30°, поэтому угол между BD и CD также равен 30°.

Ответ: ∠A = 60°; угол между BC и BD — 30°; угол между BD и CD — 30°.