№ 11. ABCD — равнобокая трапеция, AB = CD, CD = 5, AD = 10. Проведена диагональ BD, причём AB ⟂ BD. Найдите отмеченные углы при A, B и D.

Так как AB = CD = 5, а AD = 10 и ∠ABD = 90°, треугольник ABD прямоугольный с гипотенузой AD. Для угла A: cos ∠BAD = AB ÷ AD = 5 ÷ 10 = 1/2, значит ∠BAD = 60°. Тогда ∠ADB = 30°.

Поскольку BC ∥ AD, накрест лежащие углы равны: отмеченный угол ∠CBD = ∠ADB = 30°.

В равнобокой трапеции углы A и D равны, поэтому полный угол D равен 60°. Отмеченный угол ∠BDC = ∠D − ∠ADB = 60° − 30° = 30°.

Ответ: угол при A — 60°, ∠CBD = 30°, ∠BDC = 30°.