11. Через точку на биссектрисе угла параллельно его сторонам провели две прямые. Они отсекают от данного угла четырёхугольник. Докажите, что все его стороны равны.

Пусть дан угол с вершиной O. Проведём биссектрису этого угла. Выберем точку P на биссектрисе. Через точку P проведём прямые, параллельные сторонам угла, пусть они пересекают стороны угла в точках A и B. Тогда получился четырехугольник OAPB. По условию OP - биссектриса, а значит углы AOP и BOP равны. Так как AP || OB, то угол APO = углу BOP как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей OP. Отсюда получаем, что угол AOP = углу APO. Следовательно, треугольник AOP - равнобедренный, и OA = AP. Аналогично, так как BP || OA, то угол BPO = углу AOP, как накрест лежащие. Следовательно, угол BOP = углу BPO, и треугольник BOP - равнобедренный, то есть OB = BP. Теперь, так как AP || OB, и BP || OA, то OAPB - параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны попарно равны, следовательно, OA = BP и AP = OB. Так как мы доказали, что OA = AP и OB = BP, следовательно, все стороны четырехугольника равны: OA = AP = BP = OB. Что и требовалось доказать.