14. К двум параллельным прямым провели секущую AB. Биссектрисы двух накрест лежащих углов при пересекают те же прямые соответственно в точках K и E. Докажите, что AE = BK.

Пусть даны две параллельные прямые a и b, и секущая AB. Пусть биссектрисы углов, образованных этими параллельными прямыми и секущей, пересекают прямые a и b в точках K и E соответственно. Пусть углы, образованные при пересечении секущей AB с параллельными прямыми, обозначим как угол 1 и угол 2 (накрест лежащие), и угол 3 и угол 4 (накрест лежащие). Тогда, по условию, биссектрисы этих углов делят их пополам. Обозначим углы, образованные биссектрисами как угол 1/2, угол 2/2, угол 3/2, угол 4/2. Так как параллельные прямые a и b пересечены секущей AB, то накрест лежащие углы равны: угол 1 = угол 2. Следовательно, угол 1/2 = угол 2/2. Так как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то углы K и E накрест лежащие. И углы 1/2 = угол 2/2. То есть треугольники, образованные биссектрисами - равнобедренные. Таким образом, получается, что AE=AK, и BK=BE. Но AK=BE, то есть в конечном счете AE = BK. Что и требовалось доказать.