19. Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны. Докажите, что эти стороны также параллельны.

Пусть дан четырехугольник ABCD, где AB = CD и BC = AD. Проведём диагональ AC. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. В них: AB = CD, BC = AD, AC - общая сторона. Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам. Значит, угол BAC = углу DCA. Это накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей AC. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны, следовательно, AB || CD. Аналогично, угол BCA = углу DAC. Это накрест лежащие углы при прямых BC и AD и секущей AC. Следовательно, BC || AD. Что и требовалось доказать.