11. Дано: AD = DC, BD = m, ∠ABD = α, ∠DBC = β. Найти: AC.

Пусть \(\delta=\angle ADB\). Поскольку A, D и C лежат на одной прямой, \(\angle BDC=180^\circ-\delta\). Тогда в треугольнике BDC угол при C равен \(\delta-\beta\), а в треугольнике ABD угол при A равен \(180^\circ-\alpha-\delta\).

Обозначим \(AD=DC=s\). По теореме синусов в двух треугольниках:

\(s=\frac{m\sin\alpha}{\sin(\alpha+\delta)}\) и \(s=\frac{m\sin\beta}{\sin(\delta-\beta)}\).

Приравнивая выражения для s и раскрывая синусы суммы и разности, получаем \(\sin\delta\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\sin\beta\cos\delta\). Следовательно, \(\delta\) выбирается из соотношения \(\tan\delta=\frac{2\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha-\beta)}\) с учётом геометрически допустимого диапазона \(\beta<\delta<180^\circ-\alpha\). Если \(\alpha=\beta\), это соотношение даёт \(\delta=90^\circ\).

Так как \(AC=AD+DC=2s\), получаем \(AC=\frac{2m\sin\alpha}{\sin(\alpha+\delta)}\), где \(\delta\) определён указанным соотношением.

Ответ: \(AC=\frac{2m\sin\alpha}{\sin(\alpha+\delta)}\), где \(\delta\) удовлетворяет \(\sin\delta\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\sin\beta\cos\delta\) и условию \(\beta<\delta<180^\circ-\alpha\).