11. Какие из следующих утверждений верны? 1) Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. 2) Все квадраты имеют равные площади. 3) Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

Решение:

1. Утверждение 1: Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

Это утверждение верно. Прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является квадратом. Квадрат — это частный случай прямоугольника.

2. Утверждение 2: Все квадраты имеют равные площади.

Это утверждение неверно. Площадь квадрата зависит от длины его стороны ( \( S = a^2 \) ). Квадраты с разными сторонами имеют разные площади. Например, квадрат со стороной 2 имеет площадь 4, а квадрат со стороной 3 — площадь 9.

3. Утверждение 3: Один из углов треугольника всегда не превышает 60 градусов.

Это утверждение неверно. Например, в равнобедренном треугольнике углы при основании могут быть равны \( 80^{\circ} \) каждый, а угол при вершине — \( 20^{\circ} \) ( \( 80^{\circ} + 80^{\circ} + 20^{\circ} = 180^{\circ} \) ). Или в тупоугольном треугольнике один угол может быть \( 100^{\circ} \).

Ответ: 1)