8. В угол С величиной 107° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О — центр окружности. Найдите угол АОВ.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник \( CAOB \). Угол \( \angle C = 107^{\circ} \). Так как окружность вписана в угол и касается сторон в точках \( A \) и \( B \), то \( OA \) и \( OB \) — радиусы, проведённые к точкам касания. Следовательно, \( OA \perp CA \) и \( OB \perp CB \). Это значит, что углы \( \angle CAO = 90^{\circ} \) и \( \angle CBO = 90^{\circ} \).

Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^{\circ} \).

\( \angle C + \angle CAO + \angle AOB + \angle CBO = 360^{\circ} \).

Подставим известные значения:

\( 107^{\circ} + 90^{\circ} + \angle AOB + 90^{\circ} = 360^{\circ} \).

\( 287^{\circ} + \angle AOB = 360^{\circ} \).

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 287^{\circ} = 73^{\circ} \).

Ответ: 73°