11. Отрезки касательных, проведённых из точки к окружности, равны её радиусу. Найдите угол между этими касательными.

Краткая запись:

• Окружность с центром O и радиусом R.
• Точка P вне окружности.
• Касательные PA и PB к окружности.
• PA = PB = R.
• Найти: Угол между касательными ∠APB — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. В данном случае, по условию, PA = PB = R.
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольник OAP, где O - центр окружности, A - точка касания. Треугольник OAP является прямоугольным (радиус OA перпендикулярен касательной PA), и OA = R.
3. Шаг 3: По условию, PA = R. Таким образом, треугольник OAP является прямоугольным равнобедренным треугольником (катеты OA = PA = R).
4. Шаг 4: В прямоугольном равнобедренном треугольнике углы при гипотенузе равны (90° - 45°). Угол ∠AOP = 45°.
5. Шаг 5: Аналогично, для треугольника OBP, OB = R и PB = R, что делает его также прямоугольным равнобедренным треугольником. Угол ∠BOP = 45°.
6. Шаг 6: Угол между касательными ∠APB равен углу ∠APB.
7. Шаг 7: Угол ∠AOB = ∠AOP + ∠BOP = 45° + 45° = 90°.
8. Шаг 8: Теперь рассмотрим четырехугольник PAOB. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Углы ∠OAP и ∠OBP равны 90°.
9. Шаг 9: ∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360°.
10. Шаг 10: ∠APB + 90° + 90° + 90° = 360°.
11. Шаг 11: ∠APB = 360° - 270° = 90°.

Ответ: 90°