12. Две окружности вписаны в угол величиной 60°, а расстояние между их центрами равно 10. Найдите радиусы этих окружностей, если один из них в 3 раза больше другого.

Краткая запись:

• Угол α = 60°.
• Две окружности вписаны в угол.
• Расстояние между центрами $$O_1O_2$$ = 10.
• $$R_1 = 3R_2$$.
• Найти: $$R_1$$ и $$R_2$$.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Центры $$O_1$$ и $$O_2$$ окружностей лежат на биссектрисе угла 60°. Биссектриса делит угол пополам, поэтому угол между стороной угла и биссектрисой равен 30°.
2. Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром одной из окружностей (например, $$O_1$$), точкой касания окружности со стороной угла (A) и вершиной угла (V). В этом треугольнике $$O_1A = R_1$$ (радиус) и ∠AV$$O_1$$ = 30°.
3. Шаг 3: Используя тригонометрию, найдем расстояние от вершины угла до центра окружности: $$\sin(30°) = \frac{O_1A}{VO_1}$$, откуда $$VO_1 = \frac{O_1A}{\sin(30°)} = \frac{R_1}{1/2} = 2R_1$$.
4. Шаг 4: Аналогично, для второй окружности с центром $$O_2$$ и радиусом $$R_2$$, расстояние от вершины угла до центра будет $$VO_2 = \frac{R_2}{\sin(30°)} = \frac{R_2}{1/2} = 2R_2$$.
5. Шаг 5: Расстояние между центрами $$O_1O_2$$ равно разности расстояний от вершины угла до центров: $$O_1O_2 = VO_1 - VO_2$$ (предполагаем, что $$R_1 > R_2$$).
6. Шаг 6: Подставляем известные значения: $$10 = 2R_1 - 2R_2$$.
7. Шаг 7: У нас есть система уравнений:
   1) $$R_1 = 3R_2$$
   2) $$10 = 2R_1 - 2R_2$$
8. Шаг 8: Подставим первое уравнение во второе: $$10 = 2(3R_2) - 2R_2$$.
9. Шаг 9: $$10 = 6R_2 - 2R_2$$.
10. Шаг 10: $$10 = 4R_2$$.
11. Шаг 11: $$R_2 = \frac{10}{4} = 2.5$$.
12. Шаг 12: Найдем $$R_1$$: $$R_1 = 3R_2 = 3 * 2.5 = 7.5$$.

Ответ: Радиусы окружностей равны 7.5 и 2.5.