9. Две касательные к окружности параллельны. Докажите, что расстояние между ними равно диаметру окружности.

Краткое пояснение:

Доказательство строится на свойствах параллельных линий и касательных к окружности.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Пусть даны две параллельные касательные $$l_1$$ и $$l_2$$ к окружности с центром O. Пусть $$l_1$$ касается окружности в точке A, а $$l_2$$ — в точке B.
2. Шаг 2: Радиусы OA и OB, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным $$l_1$$ и $$l_2$$ соответственно.
3. Шаг 3: Так как $$l_1 ext{ || } l_2$$, и OA ⊥ $$l_1$$, то OA также перпендикулярен $$l_2$$. Аналогично, OB ⊥ $$l_1$$.
4. Шаг 4: Поскольку OA перпендикулярен обеим параллельным прямым, а OB перпендикулярен обеим параллельным прямым, то точки A, O и B лежат на одной прямой, перпендикулярной обеим касательным.
5. Шаг 5: Отрезок AB является перпендикуляром, соединяющим параллельные касательные. Длина этого отрезка и есть расстояние между ними.
6. Шаг 6: Так как A и B — точки касания, а O — центр окружности, то OA и OB являются радиусами. Отрезок AB проходит через центр O и соединяет точки касания, значит, AB является диаметром окружности.
7. Шаг 7: Следовательно, расстояние между параллельными касательными равно диаметру окружности.

Доказано.