16. Окружность высекает на сторонах угла равные хорды. Докажите, что её центр лежит на биссектрисе этого угла. (рис.)

Краткое пояснение:

Доказательство основано на свойствах равенства хорд и перпендикуляров, опущенных из центра окружности.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Пусть дан угол с вершиной V, и окружность с центром O высекает на сторонах угла хорды AB и CD.
2. Шаг 2: По условию, хорды AB и CD равны: AB = CD.
3. Шаг 3: Расстояние от центра окружности до хорды измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из центра на хорду. Обозначим середины хорд как M и N соответственно. Тогда OM ⊥ AB и ON ⊥ CD, и OM и ON являются расстояниями от центра до хорд.
4. Шаг 4: Известно, что равные хорды находятся на равном расстоянии от центра окружности. Следовательно, OM = ON.
5. Шаг 5: Рассмотрим треугольники VOM и VON.
6. Шаг 6: Угол ∠VMO = ∠VNO = 90° (по построению перпендикуляров).
7. Шаг 7: Сторона VO является общей для обоих треугольников.
8. Шаг 8: OM = ON (доказано в шаге 4).
9. Шаг 9: Следовательно, треугольники VOM и VON равны по гипотенузе и катету (прямоугольные треугольники с равной гипотенузой и равным катетом).
10. Шаг 10: Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AVO = ∠CVO.
11. Шаг 11: Так как VO делит угол ∠AVC пополам (∠AVO = ∠CVO), то VO является биссектрисой угла ∠AVC.
12. Шаг 12: Следовательно, центр окружности O лежит на биссектрисе угла.

Доказано.