15. Две хорды окружности находятся на равном расстоянии от центра. Докажите, что они равны.

Краткое пояснение:

Доказательство основано на использовании теоремы Пифагора и свойств симметрии.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Пусть даны две хорды AB и CD окружности с центром O.
2. Шаг 2: Пусть расстояния от центра O до хорд равны. Обозначим середины хорд как M и N соответственно. Тогда OM ⊥ AB и ON ⊥ CD, и OM = ON.
3. Шаг 3: Рассмотрим прямоугольные треугольники OMA и ONC.
4. Шаг 4: В треугольнике OMA: OA — гипотенуза (радиус окружности), OM — один катет, AM — другой катет. По теореме Пифагора: $$AM^2 = OA^2 - OM^2$$.
5. Шаг 5: В треугольнике ONC: OC — гипотенуза (радиус окружности), ON — один катет, NC — другой катет. По теореме Пифагора: $$NC^2 = OC^2 - ON^2$$.
6. Шаг 6: Так как OA = OC (радиусы) и OM = ON (по условию), то $$OA^2 = OC^2$$ и $$OM^2 = ON^2$$.
7. Шаг 7: Следовательно, $$OA^2 - OM^2 = OC^2 - ON^2$$, что означает $$AM^2 = NC^2$$.
8. Шаг 8: Поскольку AM и NC — длины отрезков, они положительны. Поэтому AM = NC.
9. Шаг 9: Поскольку M и N — середины хорд, то AB = 2 * AM и CD = 2 * NC.
10. Шаг 10: Так как AM = NC, то 2 * AM = 2 * NC, что означает AB = CD.
11. Шаг 11: Таким образом, две хорды, находящиеся на равном расстоянии от центра, равны.

Доказано.