13. Две окружности вписаны в угол величиной 60°. Как относятся их радиусы, если одна проходит через центр другой? (рис.)

Краткая запись:

• Угол α = 60°.
• Две окружности вписаны в угол.
• Одна окружность проходит через центр другой.
• Найти: Отношение радиусов $$R_1/R_2$$.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Центры окружностей $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на биссектрисе угла 60°. Угол между стороной угла и биссектрисой равен 30°.
2. Шаг 2: Расстояние от вершины угла (V) до центра окружности с радиусом R равно $$VR = \frac{R}{\sin(30°)} = 2R$$.
3. Шаг 3: Пусть $$R_1$$ - радиус большей окружности, $$R_2$$ - радиус меньшей окружности. Тогда $$VO_1 = 2R_1$$ и $$VO_2 = 2R_2$$.
4. Шаг 4: Если одна окружность проходит через центр другой, то расстояние между их центрами равно радиусу той окружности, которая проходит через центр другой. Пусть окружность с центром $$O_1$$ проходит через $$O_2$$. Тогда расстояние $$O_1O_2 = R_1$$.
5. Шаг 5: Расстояние между центрами также равно разности расстояний от вершины угла до центров: $$O_1O_2 = VO_1 - VO_2$$.
6. Шаг 6: Подставляем: $$R_1 = 2R_1 - 2R_2$$.
7. Шаг 7: Перегруппируем: $$2R_2 = 2R_1 - R_1$$.
8. Шаг 8: $$2R_2 = R_1$$.
9. Шаг 9: Находим отношение радиусов: $$\frac{R_1}{R_2} = \frac{2R_2}{R_2} = 2$$.

Ответ: Радиусы относятся как 2:1.