11. Упростите выражение \(\left(\frac{a+b}{b-a}-\frac{b-a}{b+a}-\frac{4a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a^2}{b^3-ab^2}+\frac{a-b}{b^2}+\frac{2}{b}\right)\).

Question

Вопрос:

11. Упростите выражение \(\left(\frac{a+b}{b-a}-\frac{b-a}{b+a}-\frac{4a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a^2}{b^3-ab^2}+\frac{a-b}{b^2}+\frac{2}{b}\right)\).

Accepted Answer

В первой скобке используем \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) и \(b-a=-(a-b)\). Приведение к общему знаменателю даёт \(-\frac{4a}{a-b}\).

Во второй скобке \(b^3-ab^2=b^2(b-a)=-b^2(a-b)\), поэтому первые два слагаемых равны \(-\frac{a^2}{b^2(a-b)}+\frac{a-b}{b^2}=\frac{(a-b)^2-a^2}{b^2(a-b)}=\frac{b-2a}{b(a-b)}\).

Добавим \(\frac2b\): скобка равна \(\frac{b-2a+2(a-b)}{b(a-b)}=-\frac1{a-b}\).

Делим: \(-\frac{4a}{a-b}:-\frac1{a-b}=4a\).

Ответ: \(4a\).

ОДЗ: \(b\ne0\), \(a-b\ne0\), \(a+b\ne0\); делитель в скобках должен быть отличен от нуля.