№ 11. В равнобедренной трапеции ABCD, где AB = CD, BC ∥ AD, CD = 5, AD = 10. Диагональ BD перпендикулярна AB. Найдите отмеченные углы при A, B, C и D.

В равнобедренной трапеции AB = CD = 5. Треугольник ABD прямоугольный при B, а AD = 10 — его гипотенуза. Поэтому \(\sin\angle ADB=\frac{AB}{AD}=\frac{5}{10}=\frac12\), откуда ∠ADB = 30° и ∠BAD = 60°.

Углы при основании AD равны, поэтому весь угол D равен углу A: ∠D = 60°. Тогда ∠BDC = 60° − 30° = 30°.

Соседние углы при боковой стороне AB supplementary: ∠B = 120°. Так как ∠ABD = 90°, то ∠DBC = 120° − 90° = 30°. Углы B и C при верхнем основании равны, значит ∠C = 120°.

Ответ: ∠A = 60°, ∠DBC = 30°, ∠C = 120°, ∠D = 60° (∠BDC = 30°).