№ 9. В равнобедренной трапеции ABCD, где AB = CD и BC ∥ AD, AB = 7, AH = 3, BH ⟂ AD. Диагональ BD — биссектриса угла D. Найдите AD.

Опустим из C перпендикуляр к AD. Из равенства боковых сторон и параллельности оснований горизонтальные проекции боковых сторон равны: проекция CD на AD равна AH = 3.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH высота BH равна \(\sqrt{7^2-3^2}=\sqrt{40}\).

Пусть K — основание перпендикуляра из C на AD. Тогда DK = 3. Единичные направления лучей DA и DC имеют горизонтальные составляющие −1 и −3/7, а вертикальная составляющая направления DC равна \(\sqrt{40}/7\). Направление биссектрисы угла D пропорционально сумме этих направлений, поэтому для луча DB отношение горизонтального смещения к вертикальному равно \(10/\sqrt{40}\). Поскольку высота точки B над AD равна \(\sqrt{40}\), горизонтальное расстояние от D до проекции B на AD равно 10.

Это расстояние равно AD − AH, следовательно, AD − 3 = 10 и AD = 13.

Ответ: AD = 13.