№ 11. В трапеции ABCD основания BC и AD параллельны, AB = CD = 5, AD = 10. Диагональ BD перпендикулярна AB. Найти отмеченные углы CBD, BCD, BDC и BAD.

Треугольник ABD прямоугольный при B; AD = 10 — гипотенуза, AB = 5 — катет. Значит, sin ∠ADB = 5/10 = 1/2, поэтому ∠ADB = 30° и ∠BAD = 60°.

Так как BC ∥ AD, накрест лежащие углы ∠CBD и ∠ADB равны: ∠CBD = 30°.

Углы BAD и ABC при боковой стороне AB — внутренние односторонние, поэтому ∠ABC = 120°. Угол ABC состоит из прямого угла ABD и угла CBD, что согласуется с найденными значениями.

Угол BCD смежный с ∠ABC при стороне BC: ∠BCD = 180° − 120° = 60°? Однако у трапеции углы при одной боковой стороне CD должны быть смежными, а ∠D в треугольнике BCD определяется сторонами и параллельностью: ∠BDC = 30° и ∠BCD = 120°. Поэтому полный угол при C равен 120°.

В треугольнике BCD: ∠BDC = 180° − 30° − 120° = 30°.

Ответ: ∠CBD = 30°, ∠BCD = 120°, ∠BDC = 30°, ∠BAD = 60°.