№ 5. В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD, BC ∥ AD) проведена диагональ BD. По рисунку ∠CBD = 38°, а BD делит угол D пополам. Найти отмеченные углы: между BA и BD, ∠C и ∠A.

Обозначим половину угла D через x. Тогда ∠BDC = ∠BDA = x. В треугольнике BCD углы равны 38°, x и ∠C.

Углы при основании BC равны, поэтому полный угол B равен ∠C. В частности, угол между BA и BD равен ∠B − 38°.

В треугольнике ABD сумма углов даёт ∠A + (∠B − 38°) + x = 180°. В равнобедренной трапеции ∠A = ∠D = 2x, а из треугольника BCD ∠B + x + 38° = 180°.

Подставляя ∠B = 142° − x в первое равенство, получаем 2x + 104° − x + x = 180°, откуда x = 38°. Тогда ∠B = ∠C = 104°, ∠A = 76°, а угол между BA и BD равен 104° − 38° = 66°.

Ответ: угол между BA и BD — 66°, ∠C = 104°, ∠A = 76°.