1138. Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если: а) диагонали ромба равны 6 см и 8 см; б) сторона ромба равна a и острый угол равен α.

а) **Понимание:** Длина окружности, вписанной в ромб, связана с радиусом этой окружности. Радиус вписанной окружности можно найти через площадь ромба и его полупериметр. **Решение:** 1. Найдем площадь ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делят его на 4 равных прямоугольных треугольника. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. $$S = \frac{1}{2}d_1d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2$$ 2. Найдем сторону ромба. Сторона ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными половине диагоналей. $$a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$$ 3. Найдем полупериметр ромба. $$p = \frac{4a}{2} = 2a = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$$ 4. Радиус вписанной окружности равен отношению площади ромба к его полупериметру. $$r = \frac{S}{p} = \frac{24}{10} = 2.4 \text{ см}$$ 5. Длина вписанной окружности равна $$C = 2\pi r = 2\pi \cdot 2.4 = 4.8\pi \text{ см}$$ **Ответ:** Длина вписанной окружности равна $$4.8\pi$$ см. б) **Понимание:** В этом случае мы используем свойства ромба и тригонометрию. **Решение:** 1. Высота ромба $$h$$ равна диаметру вписанной окружности. Высота ромба может быть выражена как $$h=a\sin\alpha$$ 2. Радиус вписанной окружности равен половине высоты ромба $$r=\frac{h}{2}=\frac{a\sin\alpha}{2}$$ 3. Длина вписанной окружности равна $$C=2\pi r=2\pi\frac{a\sin\alpha}{2}=\pi a\sin\alpha$$ **Ответ:** Длина вписанной окружности равна $$\pi a \sin \alpha$$.