1141. Фигура ограничена большими дугами двух окружностей, имеющих общую хорду, длина которой равна 6 см. Для одной окружности эта хорда является стороной вписанного квадрата, для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найдите сумму длин этих дуг.

**Понимание:** Нам даны две дуги, одна из которых опирается на сторону вписанного квадрата, а другая - на сторону вписанного шестиугольника. Нужно найти сумму длин этих дуг. **Решение:** 1. Рассмотрим окружность, в которую вписан квадрат. Хорда длиной 6 см является стороной квадрата. Радиус этой окружности найдем из прямоугольного треугольника, образованного радиусами и хордой. $$r_1 = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$$ 2. Центральный угол, опирающийся на сторону квадрата, равен 90 градусам или $$\frac{\pi}{2}$$ радиан. 3. Длина дуги для квадрата $$l_1 = r_1 \theta_1 = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi\sqrt{2}}{2}$$ 4. Рассмотрим окружность, в которую вписан правильный шестиугольник. Хорда длиной 6 см является стороной шестиугольника, и радиус этой окружности равен длине стороны $$r_2 = 6 \text{ см}$$. Центральный угол, опирающийся на сторону шестиугольника, равен 60 градусам или $$\frac{\pi}{3}$$ радиан. Длина дуги для шестиугольника $$l_2 = r_2 \theta_2 = 6 \cdot \frac{\pi}{3} = 2\pi$$ 5. Сумма длин дуг $$L = l_1+l_2=\frac{3\pi\sqrt{2}}{2} + 2\pi \approx 10.76 \text{ см}$$ **Ответ:** Сумма длин этих дуг примерно равна 10.76 см.