1143. Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника (см. задачу 2, п. 65). Докажите, что отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников.

**Понимание:** Высота, проведенная к гипотенузе, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Нужно доказать, что отношение длин вписанных окружностей равно коэффициенту подобия. **Доказательство:** 1. Пусть есть прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Высота CD делит этот треугольник на два подобных: ACD и CBD. Коэффициент подобия $$k$$ равен отношению соответствующих сторон. Например, $$\frac{AC}{BC} = k$$ 2. Радиусы вписанных окружностей $$r_1$$ (для ACD) и $$r_2$$ (для CBD) пропорциональны соответствующим сторонам. Если треугольники подобны с коэффициентом *k*, то и отношение их радиусов равно *k*.$$\frac{r_1}{r_2} = k$$ 3. Длина окружности равна $$2\pi r$$. Тогда отношение длин окружностей равно $$\frac{C_1}{C_2} = \frac{2\pi r_1}{2\pi r_2} = \frac{r_1}{r_2} = k$$ **Ответ:** Отношение длин окружностей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту подобия этих треугольников, что и требовалось доказать.