1140. В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника.

**Понимание:** Нужно доказать, что отношение площади вписанного круга к площади правильного многоугольника равно отношению длины окружности к периметру этого многоугольника. **Доказательство:** 1. Пусть радиус вписанной окружности равен *r*. Площадь круга равна $$S_{circle} = \pi r^2$$, а длина окружности равна $$C = 2\pi r$$. 2. Площадь правильного многоугольника можно найти как $$S_{polygon} = \frac{1}{2}Pr$$, где $$P$$ - периметр многоугольника, а *r* - радиус вписанной окружности. 3. Отношение площади круга к площади многоугольника: $$\frac{S_{circle}}{S_{polygon}} = \frac{\pi r^2}{\frac{1}{2}Pr} = \frac{2\pi r^2}{Pr} = \frac{2\pi r}{P}$$ 4. Отношение длины окружности к периметру многоугольника: $$\frac{C}{P} = \frac{2\pi r}{P}$$ 5. Сравнивая полученные отношения, видим, что они равны: $$\frac{S_{circle}}{S_{polygon}} = \frac{C}{P}$$ **Ответ:** Отношение площади круга к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника, что и требовалось доказать.