117. Упростите: 1/((x − 1)(x − 2)) + 1/((x − 2)(x − 3)) + 1/((x − 3)(x − 4)) + 1/((x − 4)(x − 5)).

Используем равенство \(\frac{1}{(x-k)(x-k-1)}=\frac{1}{x-k-1}-\frac{1}{x-k}\). Тогда слагаемые сокращаются попарно:

\(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-4}=\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-1}=\frac{4}{(x-1)(x-5)}\).

Исходное выражение определено при \(x\ne1,2,3,4,5\).

Ответ: \(\frac{4}{(x-1)(x-5)}\), где \(x\ne1,2,3,4,5\).