12.√8-√15

Решение:

Попробуем представить выражение под корнем в виде квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Для этого удвоим подкоренное выражение:

\[ \sqrt{8-\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{16-2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{16-2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}} \]

Теперь ищем числа \( a \) и \( b \) такие, что \( a^2+b^2=16 \) и \( ab=\sqrt{15} \). Таких целых чисел нет. Попробуем представить \( \sqrt{15} \) как \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) и \( 16 \) как \( a+b \).

С другой стороны, если мы хотим получить \( \sqrt{8-\sqrt{15}} \), нам нужно найти \( \sqrt{x} - \sqrt{y} \) такое, что \( (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy} = 8 - \sqrt{15} \).

Умножим на 2 под корнем:

\[ \sqrt{8-\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{16-2\sqrt{15}}{2}} \]

Теперь ищем \( a, b \) такие, что \( a+b=16 \) и \( 4ab = 2\sqrt{15} \) ? нет.

Ищем \( a, b \) такие, что \( a+b=8 \) и \( 2\sqrt{ab}=\sqrt{15} \) → \( 4ab=15 \) → \( ab=15/4 \).

Тогда \( t^2 - 8t + 15/4 = 0 \) → \( 4t^2 - 32t + 15 = 0 \).

\( D = 32^2 - 4 x 4 x 15 = 1024 - 240 = 784 \). \( \sqrt{D} = 28 \).

\( t_1 = \frac{32+28}{8} = \frac{60}{8} = \frac{15}{2} \), \( t_2 = \frac{32-28}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).

Значит, \( a = 15/2 \) и \( b = 1/2 \).

\[ \frac{\sqrt{15/2} - \sqrt{1/2}}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{15}-1}{2} \]