19. ³√29√2-45 - ³√29√2+45

Решение:

Обозначим \( x = \sqrt[3]{29\sqrt{2}-45} \) и \( y = \sqrt[3]{29\sqrt{2}+45} \).

Нам нужно найти \( x - y \).

Рассмотрим \( (x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = (x^3-y^3) - 3xy(x-y) \).

\( x^3 = 29\sqrt{2}-45 \)

\( y^3 = 29\sqrt{2}+45 \)

\( x^3 - y^3 = (29\sqrt{2}-45) - (29\sqrt{2}+45) = -90 \).

\( xy = \sqrt[3]{(29\sqrt{2}-45)(29\sqrt{2}+45)} = \sqrt[3]{(29\sqrt{2})^2 - 45^2} \)

\( (29\sqrt{2})^2 = 29^2 x 2 = 841 x 2 = 1682 \).

\( 45^2 = 2025 \).

\( xy = \sqrt[3]{1682 - 2025} = \sqrt[3]{-343} = -7 \).

Пусть \( z = x - y \). Тогда \( z^3 = -90 - 3(-7)z = -90 + 21z \).

\( z^3 - 21z + 90 = 0 \).

Попробуем найти целочисленные корни среди делителей 90: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 5, \pm 6, \dots \).

Если \( z = -6 \), то \( (-6)^3 - 21(-6) + 90 = -216 + 126 + 90 = -216 + 216 = 0 \).

Значит, \( x - y = -6 \).