№ 12. ABCD — равнобедренная трапеция (AB = CD); диагонали AC и BD пересекаются в O. ∠BAC = 39°, ∠CBD = 31°. Найдите ∠D и ∠C.

Поскольку BC ∥ AD, угол между BC и BD равен углу между AD и BD. Из симметрии равнобедренной трапеции диагонали образуют с верхним основанием равные углы, поэтому угол BCA равен ∠CBD = 31°.

В треугольнике ABC: ∠ABC = 180° − 39° − 31° = 110°. Углы B и C при боковой стороне supplementary, значит ∠C = 180° − 110° = 70°? Уточним расположение: ∠ABC — угол между BA и BC, а в равнобедренной трапеции он obtuse; основания BC и AD параллельны, поэтому ∠A + ∠B = 180°. Из треугольника ABC получено ∠ABC = 110°, следовательно, полный угол B трапеции 110°, а угол C при том же основании равен 70°.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны; значит ∠D = ∠A = 70°.

Ответ: ∠D = 70°, ∠C = 70°.