№ 9. ABCD — трапеция; AB = CD = 7, AH = 3, BH ⟂ AD. BD — биссектриса угла D. Найдите AD.

Так как BC ∥ AD, углы CBD и BDA равны как накрест лежащие. BD — биссектриса угла D, значит ∠BDA = ∠BDC. Следовательно, ∠CBD = ∠BDC, и треугольник BCD равнобедренный: BC = CD = 7.

В прямоугольном треугольнике ABH по теореме Пифагора: BH² = AB² − AH² = 49 − 9 = 40, поэтому BH = 2√10.

Для нахождения AD достаточно равенства боковых сторон трапеции: проекции равных боковых сторон на основание равны. Значит, отрезок от проекции C на AD до D равен AH = 3. Тогда AD = AH + BC + 3 = 3 + 7 + 3 = 13.

Ответ: AD = 13.