12. На рисунке M — середина AC. Доказать: \(\overrightarrow{BM}=\frac12(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})\).

Так как M — середина AC, векторы \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{MC}\) равны, и каждый равен половине \(\overrightarrow{AC}\).

По правилу треугольника \(\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}\). Кроме того, \(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\), поскольку \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\).

Следовательно, \(\frac12(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{BA}+\frac12\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}\).

Доказано.