12. Найдите tg a, если sin a = - 5/√26 и α ∈ (π; 3π/2).

Дано:

• \( \sin a = -\frac{5}{\sqrt{26}} \)
• \( \alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2}) \) (угол \( \alpha \) находится в третьей четверти)

Найти:

• \( \text{tg } a \)

Решение:

Чтобы найти \( \text{tg } a \), нам нужно знать \( \sin a \) и \( \cos a \), так как \( \text{tg } a = \frac{\sin a}{\cos a} \).

Сначала найдем \( \cos a \) с помощью основного тригонометрического тождества:

\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]

\[ (-\frac{5}{\sqrt{26}})^2 + \cos^2 a = 1 \]

\[ \frac{25}{26} + \cos^2 a = 1 \]

\[ \cos^2 a = 1 - \frac{25}{26} \]

\[ \cos^2 a = \frac{26}{26} - \frac{25}{26} \]

\[ \cos^2 a = \frac{1}{26} \]

Теперь извлечем квадратный корень:

\[ \cos a = \pm \sqrt{\frac{1}{26}} = \pm \frac{1}{\sqrt{26}} \]

Определим знак \( \cos a \).

По условию, \( \alpha \) находится в третьей четверти (от \( \pi \) до \( \frac{3\pi}{2} \)). В третьей четверти косинус отрицателен.

Следовательно, \( \cos a = -\frac{1}{\sqrt{26}} \).

Теперь найдем \( \text{tg } a \):

\[ \text{tg } a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{5}{\sqrt{26}}}{-\frac{1}{\sqrt{26}}} \]

Два минуса сокращаются, и \( \sqrt{26} \) в знаменателях тоже сокращаются:

\[ \text{tg } a = \frac{5}{1} = 5 \]

Ответ: 5