4. Найдите значение выражения a^6 * \(\sqrt[3]{a^5}\) / a^8 при a = 0,008.

Дано:

• Выражение: \( \frac{a^6 \sqrt[3]{a^5}}{a^8} \)
• При \( a = 0.008 \)

Найти:

• Значение выражения

Решение:

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней:

1. Преобразуем корень в степень: \( \sqrt[3]{a^5} = a^{\frac{5}{3}} \).
2. Подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{a^6 \times a^{\frac{5}{3}}}{a^8} \]

Когда мы умножаем степени с одинаковым основанием, показатели степеней складываются.

\[ a^{6 + \frac{5}{3}} = a^{\frac{18}{3} + \frac{5}{3}} = a^{\frac{23}{3}} \]

Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{a^{\frac{23}{3}}}{a^8} \]

Когда мы делим степени с одинаковым основанием, показатели степеней вычитаются.

\[ a^{\frac{23}{3} - 8} = a^{\frac{23}{3} - \frac{24}{3}} = a^{-\frac{1}{3}} \]

Итак, упрощенное выражение равно \( a^{-\frac{1}{3}} \).

Теперь подставим значение \( a = 0.008 \).

Удобно представить 0.008 как \( 8 \times 10^{-3} \) или \( \frac{8}{1000} \). Также стоит заметить, что \( 0.008 = (0.2)^3 \).

Подставим \( a = (0.2)^3 \) в выражение \( a^{-\frac{1}{3}} \):

\[ ((0.2)^3)^{-\frac{1}{3}} \]

Перемножаем показатели степеней:

\[ (0.2)^{3 \times (-\frac{1}{3})} = (0.2)^{-1} \]

Возведение числа в степень -1 означает, что нужно взять обратное число.

\[ (0.2)^{-1} = \frac{1}{0.2} = \frac{1}{\frac{2}{10}} = \frac{10}{2} = 5 \]

Ответ: 5