6. Найдите значения выражения \(\frac{23}{\sin^2 56^{\circ} + 1 + \sin^2 146^{\circ}}\)

Дано:

• Выражение: \( \frac{23}{\sin^2 56^{\circ} + 1 + \sin^2 146^{\circ}} \)

Найти:

• Значение выражения

Решение:

Для решения этой задачи нам понадобятся тригонометрические формулы:

1. Формула приведения: \( \sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin(\alpha) \)
2. Основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \)

Рассмотрим знаменатель: \( \sin^2 56^{\circ} + 1 + \sin^2 146^{\circ} \)

1. Используем формулу приведения для \( \sin^2 146^{\circ} \):
\( \sin 146^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 34^{\circ}) = \sin 34^{\circ} \). Значит, \( \sin^2 146^{\circ} = \sin^2 34^{\circ} \).
2. Подставим это в знаменатель:

\[ \sin^2 56^{\circ} + 1 + \sin^2 34^{\circ} \]

Теперь воспользуемся тем, что \( 56^{\circ} + 34^{\circ} = 90^{\circ} \). Это означает, что \( 56^{\circ} \) и \( 34^{\circ} \) — это взаимно дополняющие углы.

Используем свойство: \( \sin(90^{\circ} - \alpha) = \cos(\alpha) \).

Значит, \( \sin 56^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 56^{\circ}) = \cos 34^{\circ} \).

И \( \sin 34^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 34^{\circ}) = \cos 56^{\circ} \).

Подставим \( \sin^2 56^{\circ} = \cos^2 34^{\circ} \) и \( \sin^2 34^{\circ} = \cos^2 56^{\circ} \) в знаменатель:

\[ \cos^2 34^{\circ} + 1 + \sin^2 34^{\circ} \]

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \). Применим его к \( \cos^2 34^{\circ} + \sin^2 34^{\circ} \):

\[ (\cos^2 34^{\circ} + \sin^2 34^{\circ}) + 1 = 1 + 1 = 2 \]

Знаменатель равен 2.

Теперь найдем значение всего выражения:

\[ \frac{23}{2} \]

Ответ: \( \frac{23}{2} \) или 11.5