8. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 28°, AB = 7 и что внешний угол при вершине B равен 56°. Найдите сторону BC.

Дано:

• Треугольник ABC
• \( \angle C = 28^{\circ} \)
• \( AB = 7 \)
• Внешний угол при вершине B = 56°

Найти:

• Сторону BC

Решение:

Сначала найдем внутренний угол при вершине B:

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Также, внешний угол и смежный с ним внутренний угол в сумме дают 180°.

Пусть \( \angle B_{внутр} \) — внутренний угол при вершине B.

\[ \angle B_{внутр} + 56^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle B_{внутр} = 180^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ} \]

Теперь мы знаем два угла треугольника:

• \( \angle C = 28^{\circ} \)
• \( \angle B = 124^{\circ} \)

Найдем третий угол, \( \angle A \), зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]

\[ \angle A + 124^{\circ} + 28^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle A + 152^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle A = 180^{\circ} - 152^{\circ} = 28^{\circ} \]

Мы получили, что \( \angle A = 28^{\circ} \) и \( \angle C = 28^{\circ} \). Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным, и стороны, противолежащие этим углам, равны.

Сторона, противолежащая \( \angle C \), это AB.

Сторона, противолежащая \( \angle A \), это BC.

Так как \( \angle A = \angle C \), то \( AB = BC \).

Нам дано, что \( AB = 7 \).

Следовательно, \( BC = 7 \).

Ответ: 7