3. Найдите значение выражения (b^20)^(1/8) : b^(-7) : (b^-3)^2 при b = 0,01.

Дано:

• Выражение: \( (b^{20})^{\frac{1}{8}} : b^{-7} : (b^{-3})^2 \)
• При \( b = 0.01 \)

Найти:

• Значение выражения

Решение:

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней:

1. Упрощаем первую часть: \( (b^{20})^{\frac{1}{8}} \)
Когда степень возводится в степень, показатели степеней перемножаются: \( b^{20 \times \frac{1}{8}} = b^{\frac{20}{8}} = b^{\frac{5}{2}} \).
2. Упрощаем последнюю часть: \( (b^{-3})^2 \)
Аналогично, перемножаем показатели: \( b^{-3 \times 2} = b^{-6} \).
3. Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

\[ b^{\frac{5}{2}} : b^{-7} : b^{-6} \]

Когда мы делим степени с одинаковым основанием, показатели степеней вычитаются.

Сначала выполним первое деление: \( b^{\frac{5}{2}} : b^{-7} = b^{\frac{5}{2} - (-7)} = b^{\frac{5}{2} + 7} = b^{\frac{5}{2} + \frac{14}{2}} = b^{\frac{19}{2}} \).

Теперь выполним второе деление:

\[ b^{\frac{19}{2}} : b^{-6} = b^{\frac{19}{2} - (-6)} = b^{\frac{19}{2} + 6} = b^{\frac{19}{2} + \frac{12}{2}} = b^{\frac{31}{2}} \).

Итак, упрощенное выражение равно \( b^{\frac{31}{2}} \).

Теперь подставим значение \( b = 0.01 \).

Удобнее представить 0.01 как \( 10^{-2} \) или \( \frac{1}{100} \).

Подставим \( b = 10^{-2} \) в выражение \( b^{\frac{31}{2}} \):

\[ (10^{-2})^{\frac{31}{2}} \]

Снова перемножаем показатели степеней:

\[ 10^{-2 \times \frac{31}{2}} = 10^{-31} \]

Ответ: \( 10^{-31} \)