12. Найдите точку максимума функции $$y=(x+4)^2-e^{-x}$$.

Решение:

Чтобы найти точку максимума, необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Производная функции \( y=(x+4)^2-e^{-x} \) равна:

\( y' = \frac{d}{dx}((x+4)^2) - \frac{d}{dx}(e^{-x}) \)

\( y' = 2(x+4) - e^{-x}(-1) \)

\( y' = 2(x+4) + e^{-x} \)

Приравняем производную к нулю:

\( 2(x+4) + e^{-x} = 0 \)

\( 2x + 8 + e^{-x} = 0 \)

Это уравнение не имеет простого аналитического решения. Попробуем найти приближенное решение графически или численными методами. Однако, давайте пересмотрим задачу. Возможно, на графике (который не был предоставлен для этого задания) есть подсказки или контекст.

Без графика или дополнительной информации, решение этого уравнения \( 2x + 8 + e^{-x} = 0 \) затруднительно. Проверим, возможно, в задании имелось в виду найти точку экстремума, где производная равна нулю.

Рассмотрим функцию \( g(x) = 2x + 8 + e^{-x} \).

\( g'(x) = 2 - e^{-x} \).

Приравняем \( g'(x) = 0 \): \( 2 - e^{-x} = 0 \implies e^{-x} = 2 \implies -x = \ln(2) \implies x = -\ln(2) \approx -0.693 \).

Если \( x < -\ln(2) \), то \( -x > \ln(2) \), \( e^{-x} > 2 \), \( g'(x) = 2 - e^{-x} < 0 \), значит \( g(x) \) убывает.

Если \( x > -\ln(2) \), то \( -x < \ln(2) \), \( e^{-x} < 2 \), \( g'(x) = 2 - e^{-x} > 0 \), значит \( g(x) \) возрастает.

Следовательно, \( x = -\ln(2) \) является точкой минимума для \( g(x) \).

Это означает, что \( g(x) = 2x + 8 + e^{-x} \) будет иметь минимум. Значение \( g(-\ln 2) = 2(-\ln 2) + 8 + e^{-(-\ln 2)} = -2\ln 2 + 8 + 2 = 10 - 2\ln 2 \approx 10 - 2(0.693) = 10 - 1.386 = 8.614 \).

Поскольку минимальное значение \( g(x) \) положительно, то \( g(x) = 2x + 8 + e^{-x} \) никогда не равно нулю. Это означает, что производная \( y' = g(x) \) всегда положительна, и функция \( y=(x+4)^2-e^{-x} \) является строго возрастающей. У такой функции нет точек максимума.

Возможно, в условии опечатка, или требуется найти точку максимума на определенном интервале, который не указан.

Предположим, что в условии опечатка и имелась в виду функция, которая имеет максимум. Если бы, например, функция была \( y = -(x+4)^2 + e^{-x} \), то \( y' = -2(x+4) - e^{-x} \). Приравнивая к нулю: \( -2x - 8 - e^{-x} = 0 \) или \( 2x + 8 + e^{-x} = 0 \), что мы уже рассматривали.

Если в условии действительно \( y=(x+4)^2-e^{-x} \), то нет точки максимума.

Если предположить, что в изображении графика (который был дан для задания 11, но, возможно, ошибочно отнесен к заданию 12) есть какая-то связь, то на графике параболы есть точка максимума (вершина). Однако, функция \( y=(x+4)^2-e^{-x} \) не является параболой.

Исходя из стандартной практики таких задач, вероятно, предполагается, что уравнение \( 2x + 8 + e^{-x} = 0 \) имеет решение. Давайте проверим, какие значения \(x\) могут быть близки к нулю. Например, при \( x = -4 \), \( y' = 2(-4+4) + e^{-(-4)} = e^4 \) (очень большое положительное число). При \( x = -5 \), \( y' = 2(-5+4) + e^{-(-5)} = -2 + e^5 \) (очень большое положительное число).

Если предположить, что задание привязано к графику из задания 11, где вершина параболы \( x=-2 \) является точкой минимума (так как ветви параболы направлены вверх), и не является точкой максимума.

В данном случае, функция \( y=(x+4)^2-e^{-x} \) является строго возрастающей, следовательно, точки максимума не существует.

Ответ: Точка максимума не существует