12. Решите неравенство

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Приведем дроби к общему знаменателю \( x(x-6) \).
2. Шаг 2: \( \frac{1}{x} - \frac{1}{x-6} \) \( \ge 0 \) => \( \frac{(x-6) - x}{x(x-6)} \) \( \ge 0 \).
3. Шаг 3: Упростим числитель: \( x - 6 - x = -6 \).
4. Шаг 4: Неравенство принимает вид \( \frac{-6}{x(x-6)} \) \( \ge 0 \).
5. Шаг 5: Так как числитель отрицательный, для выполнения неравенства нам нужно, чтобы знаменатель был отрицательным: \( x(x-6) < 0 \).
6. Шаг 6: Найдем корни знаменателя: \( x = 0 \) и \( x = 6 \).
7. Шаг 7: Нанесем корни на числовую прямую (выколотые точки).
8. Шаг 8: Расставим знаки. Возьмем тестовое значение из интервала \( (0; 6) \), например, 3: \( 3(3-6) = 3(-3) = -9 < 0 \). Знаки будут: +, -, +.
9. Шаг 9: Нам нужно \( < 0 \), поэтому выбираем интервал с минусом.

Ответ: (0; 6)