13. (1 балл) Решите неравенство 27^(1+2x) > (1/9)^(2+x)

Решение:

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Основание \( 27 \) и \( 1/9 \) можно представить как степени тройки:

• \( 27 = 3^3 \)
• \( \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} \)

Подставим это в неравенство:

\[ (3^3)^{1+2x} > (3^{-2})^{2+x} \]

Используя свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), получим:

\[ 3^{3(1+2x)} > 3^{-2(2+x)} \]\[ 3^{3+6x} > 3^{-4-2x} \]

Так как основание степени \( 3 > 1 \), при снятии основания знаки неравенства сохраняются:

\[ 3+6x > -4-2x \]

Теперь решим полученное линейное неравенство:

\[ 6x + 2x > -4 - 3 \]\[ 8x > -7 \]\[ x > -\frac{7}{8} \]

Ответ: x > -7/8.