15. (2 балла) Найдите все решения уравнения cos 2x +sin x = cos²x, принадлежащие отрезку [0;2π ].

Решение:

1. Используем формулу косинуса двойного угла: cos 2x = 1 - 2sin²x.
2. Заменим cos²x на 1 - sin²x (основное тригонометрическое тождество).
3. Уравнение примет вид: (1 - 2sin²x) + sin x = 1 - sin²x.
4. Перенесем все члены в одну сторону: 1 - 2sin²x + sin x - 1 + sin²x = 0.
5. Упрощаем: -sin²x + sin x = 0.
6. Выносим sin x за скобки: sin x * (-sin x + 1) = 0.
7. Получаем два случая:
• Случай 1: sin x = 0. Решения на отрезке [0; 2π] - это x = 0, x = π, x = 2π.
• Случай 2: -sin x + 1 = 0, что означает sin x = 1. Решение на отрезке [0; 2π] - это x = π/2.
8. Объединяем все найденные решения.

Ответ: 0, π/2, π, 2π