16. (2 балла) Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 45°, а диагональ боковой грани угол 60°. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 8 см. Найдите его объём

Решение:

1. Обозначим высоту параллелепипеда как h = 8 см.
2. Пусть диагональ параллелепипеда равна D, диагональ боковой грани - d, а диагональ основания - a.
3. Диагональ параллелепипеда D, высота h и диагональ основания a образуют прямоугольный треугольник. Угол между D и плоскостью основания (т.е. между D и a) равен 45°.
4. В этом треугольнике: cos 45° = a/D, sin 45° = h/D.
5. Из sin 45° = h/D находим D: D = h / sin 45° = 8 / (√2/2) = 16/√2 = 8√2 см.
6. Из cos 45° = a/D находим a: a = D * cos 45° = 8√2 * (√2/2) = 8 см.
7. Диагональ основания a, ширина b и длина c параллелепипеда связаны соотношением: a² = b² + c².
8. Диагональ боковой грани d, высота h и одна из сторон основания (например, c) образуют прямоугольный треугольник. Угол между диагональю боковой грани d и стороной основания c равен 60°.
9. В этом треугольнике: cos 60° = c/d, sin 60° = h/d.
10. Из sin 60° = h/d находим d: d = h / sin 60° = 8 / (√3/2) = 16/√3 = (16√3)/3 см.
11. Из cos 60° = c/d находим c: c = d * cos 60° = (16√3)/3 * (1/2) = (8√3)/3 см.
12. Теперь используем соотношение для диагонали основания: a² = b² + c². Мы знаем a = 8 и c = (8√3)/3.
13. 8² = b² + ((8√3)/3)².
14. 64 = b² + (64 * 3)/9.
15. 64 = b² + 64/3.
16. b² = 64 - 64/3 = (192 - 64)/3 = 128/3.
17. b = √(128/3) = 8√2/√3 = (8√6)/3 см.
18. Объем параллелепипеда V = a * b * c (где a - длина основания, b - ширина, c - высота, но в нашем случае высота h=8, а стороны основания - это b и c, которые мы нашли).
19. Объем V = b * c * h = ((8√6)/3) * ((8√3)/3) * 8.
20. V = (64 * √18)/9 * 8 = (64 * 3√2)/9 * 8 = (64√2)/3 * 8 = (512√2)/3 см³.

Ответ: (512√2)/3