14. (1балл) Найдите наименьшее значение функции y = 2x³ + 3x² - 12x - 1 на отрезке [-1;2]

Решение:

1. Найдем производную функции: y' = 6x² + 6x - 12.
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: 6x² + 6x - 12 = 0.
3. Разделим на 6: x² + x - 2 = 0.
4. Решаем квадратное уравнение (например, по теореме Виета): (x + 2)(x - 1) = 0.
5. Критические точки: x = -2 и x = 1.
6. Из этих точек только x = 1 попадает на заданный отрезок [-1; 2].
7. Найдем значения функции на концах отрезка и в критической точке, попавшей на отрезок:
• При x = -1: y = 2(-1)³ + 3(-1)² - 12(-1) - 1 = -2 + 3 + 12 - 1 = 12.
• При x = 1: y = 2(1)³ + 3(1)² - 12(1) - 1 = 2 + 3 - 12 - 1 = -8.
• При x = 2: y = 2(2)³ + 3(2)² - 12(2) - 1 = 2(8) + 3(4) - 24 - 1 = 16 + 12 - 24 - 1 = 3.
8. Сравниваем полученные значения: 12, -8, 3. Наименьшее значение равно -8.

Ответ: -8