Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя параболами, нужно найти точки их пересечения и вычислить определённый интеграл разности функций.
1. Найдем точки пересечения:
Приравняем уравнения функций:
\[ x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \]
\[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \]
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]
Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).
Корни: \( x_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \) и \( x_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \).
2. Найдём площадь.
Площадь \( S \) вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций по отрезку между точками пересечения:
\[ S = \int_{-1}^{2} ((-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2)) dx \]
\[ S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + 2 - x^2 + 2x + 2) dx \]
\[ S = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx \]
Вычислим интеграл:
\[ S = \left[ -\frac{2x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{2} \]
\[ S = \left[ -\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2} \]
Подставим верхний предел:
\[ -\frac{2(2)^3}{3} + (2)^2 + 4(2) = -\frac{16}{3} + 4 + 8 = -\frac{16}{3} + 12 = \frac{-16 + 36}{3} = \frac{20}{3} \]
Подставим нижний предел:
\[ -\frac{2(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 4(-1) = -\frac{2(-1)}{3} + 1 - 4 = \frac{2}{3} - 3 = \frac{2 - 9}{3} = -\frac{7}{3} \]
Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего:
\[ S = \frac{20}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9 \]
3. Чертеж:
Построить две параболы: \( y = x^2 - 2x - 2 \) (ветви вверх, вершина в \( (1, -3) \)) и \( y = -x^2 + 2 \) (ветви вниз, вершина в \( (0, 2) \)). Точки пересечения: \( (-1, 1) \) и \( (2, -2) \).
Ответ: 9 м²
