14. Решите уравнение sin²x - 2sinx=0. В ответ запишите количество решений, принадлежащих промежутку [0; 4π.]

Решение:

Данное уравнение является квадратным относительно \( \sin x \).

Пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ t^2 - 2t = 0 \]

Вынесем \( t \) за скобки:

\[ t(t - 2) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения для \( t \):

\( t = 0 \) или \( t - 2 = 0 \) \(\implies\) \( t = 2 \).

Теперь подставим обратно \( \sin x \):

1. \( \sin x = 0 \)

Общее решение этого уравнения: \( x = \pi k \), где \( k \) — целое число.

На промежутке \( [0; 4\pi] \) решениями будут:

Для \( k = 0 \): \( x = 0 \)

Для \( k = 1 \): \( x = \pi \)

Для \( k = 2 \): \( x = 2\pi \)

Для \( k = 3 \): \( x = 3\pi \)

Для \( k = 4 \): \( x = 4\pi \)

Всего 5 решений.

2. \( \sin x = 2 \)

Это уравнение не имеет решений, так как значение синуса всегда находится в пределах от -1 до 1 ( \( -1 \le \sin x \le 1 \) ), а 2 выходит за эти пределы.

Следовательно, все решения принадлежат случаю \( \sin x = 0 \).

Количество решений на промежутке \( [0; 4\pi] \) равно 5.

Ответ: 5