138. События A и B независимы. Докажите, что независимы события A и B̄.

Так как A и B независимы, P(A∩B) = P(A)·P(B). Кроме того, A = (A∩B) ∪ (A∩B̄), причём эти события несовместны. Поэтому

\(P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))=P(A)P(\overline{B}).\)

Полученное равенство является условием независимости A и B̄. Следовательно, эти события независимы.